Idea gráfica de derivada a una función en un punto

Mueve los puntos A y B y observa

Idea gráfica de derivada a una función en un punto

Mueve los puntos A y B y observa


Creación realizada con GeoGebra

Creación realizada con GeoGebra

Convergencia de series

Convergencia de Funciones de Variable Real

Definición:

Sea {ƒ_n} una sucesión de funciones reales definidas sobre A⊂ℜ y ƒ una función real definida sobre A₀.

Decimos que la sucesión {ƒ_n} converge puntualmente a la función ƒ en A₀ si se verifica que:

{ƒ_n(x)}→ƒ(x), ∀x∈A₀

A continuación mostramos una serie de ejemplos de distintas funciones que el lector debe intentar saber si convergen o no y a qué función lo hacen. Instrucciones:

1. Mover el deslizador vertical del lado izquierdo de la pantalla para cambiar de función.


2. Una vez hecho el ejercicio, comprobar el resultado dando al botón solución.

Este es un Applet de Java creado con GeoGebra desde www.geogebra.org – Java no parece estar instalado Java en el equipo. Se aconseja dirigirse a www.java.com

María Teresa Rosado, Sofía Parra, Marcos Molina

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Thales de Mileto

Tales de Mileto nació en el último tercio del siglo VII y murió a mediados del siglo VI antes de Cristo. Es un conocido matemático y filósofo griego que se encontraba entre los siete Sabios de Grecia. Heródoto nos ha dejado un importante testimonio sobre sus actividades como estadista, ingeniero y astrónomo.

Tales fue un símbolo de la ingeniosidad matemática y geométrica, buena fe de ello dan los dos teoremas relativos a geometría que expondremos ahora.

Uno está enfocado a los triángulos rectángulos, las circunferencias y los ángulos inscritos. Dice así:

Sea C un punto de la circunferencia de diámetro AB,
distinto de A y de B.

Entonces el ángulo ABC, es recto.

El otro de los teoremas de Tales y sobre el que vamos a hacer hincapié es el referente a triángulos semejantes. Por ello, antes de exponer el teorema conviene repasar la definición de triángulos semejantes que es la siguiente: dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos correspondientes iguales y sus lados son proporcionales entre si.

El teorema es el siguiente:

Si por un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados,
se obtienen dos triángulos semejantes.

Este teorema se lo atribuyó Eudemo a Tales y servía para medir las distancias de los barcos en el mar. Así mismo es una de las teorías posibles de cómo Tales midió la altura de una pirámide de Egipto, aunque Jerónimo de Rodas afirma que midió la sombra de la pirámide cuando el sol producía una sombra sobre un objeto igual a su altura.

Problema de la lata

De todos es conocido la gran cantidad de latas cilíndricas que existen en el mercado: refrescos, conservas, etc.

Pero, ¿están diseñadas para gastar el menor material posible? La mayoría no.

Imagina una lata de refresto de capacidad 33 cl. ¿Cómo tendría que ser la lata para que gastemos la menor cantidad de material al contruirla.

Para su construcción necesitaremos saber el radio y la altura de la lata.

Observa, mueve el punto rojo para ver las diferentes latas que podemos ver construir. En la parte de la izquierda verás la cantidad de material que nos haría falta para construir una lata con las dimensiones que hayas elegido.

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Como ves, existen muchas tamaños de lata que contienen 33 cl, pero no en todas gastamos el mismo material. Responde a las siguientes preguntas:

¿Qué sucede si ensanchamos la base?

¿Y si estrechamos la base?

¿Dónde crees que estará el equilibrio?

El volumen de un cilindro de radio r y altura h es: $latex V= \pi r^2 h $ y el área será: $latex A= A_{rectangulo} + 2 A_{circulo} $

El volumen será de 33cl, por tanto, $latex V=\pi r^2 h = 33$ , podemos despejar h, $latex h= \dfrac{33}{\pi r^2}$.

Por tanto, en el área $latex A=2 \pi r h + 2 \pi r^2 $ será $latex 2 \pi r \dfrac{33}{\pi r^2} + 2 \pi r^2 $.

Una vez simplificado obtenemos una expresión en función de r:

$latex A(r)= \dfrac{66}{r} + 2 \pi r^2 $

Podemos buscar el mínimo de esta función, para ello calcularemos su derivada:

$latex f'(x)= \dfrac{-66}{r^2} + 4 \pi r $

Igualando a cero y resolviendo obtenemos que $latex A(r) $latex tiene un extremo en $latex r= 1,73 $

\displaystyle