Asíntotas oblicuas

Asíntotas Oblícuas

La recta $ y = mx+n $ es una asíntota oblicua de la función $ f $ cuando la pendiente $ m $ y la ordenada en el origen pueden obtenerse mediante los siguientes límites:

$$ m=\lim_{x \to +-\infty} \dfrac{f(x)}{x} $$ y

$$ n=\lim_{x \to +-\infty}{[f(x)-mx]} $$


Observa la gráfica:








Vemos como la gráfica se aproxima a la recta $latex y=x $. Si calculamos los límites:

$ m=\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\dfrac{x^2+1}{x}}{x} = \lim_{x \to + \infty} \dfrac{x^2+1}{x^2} = 1 $.



$ n= \lim_{x \to + \infty} \dfrac{x^2+1}{x}- x = \lim_{x \to + \infty} \dfrac{1}{x}=0 $

Asíntotas verticales

Asíntotas Verticales

La recta x = a es una asíntota vertical de la función f cuando existe al menos uno de los seis siguientes límites:

$ \begin{array}{ccc} \lim_{x \to a^-} {f(x)} = +\infty & \lim_{x \to a} {f(x)} = + \infty\ & \lim_{x \to a^+} {f(x)} +\infty \\ \lim_{x \to a^-} {f(x)} = - \infty & \lim_{x \to a }{f(x)} = - \infty\ & \lim_{x \to a^+ } {f(x)} = - \infty \\ \end{array} $



Intuitivamente se trata de averiguar que hace la función cuando me acerco a un valor concreto. Claro, a un número me puedo acercar por la derecha o por la izquierda, de ahí los límites laterales.

Este tipo de asíntotas suelen aparecer cuando la función tiene puntos singulares, es decir, puntos que no están en el dominio.

Observa la gráfica.




En la parte inferior puedes ver una tabla de valores. Cuando la x se acerca a 2 por la izquierda (x->2-) vemos que los valores de $latex f(x) $ crecen rápidamente. Sin embargo, al acercarnos por la derecha (x->2+) vemos que los valores decrecen aún más rápido.

De esta forma $ lim_{x \to 2^-} \dfrac{1}{x^2-5x+6}= +\infty $ y $ lim_{x \to 2^+} \dfrac{1}{x^2-5x+6}= -\infty $

Intenta calcular los límites laterales para la otra asíntota x=3.

Asíntotas Horizontales

Asíntotas Horizontales

Diremos un una función $latex f $ presenta una asíntota horizontal $latex y= k $ cuando:

$ \lim_{x\to +\infty} {f(x)} =k $

$ \lim_{x\to -\infty} {f(x)} = k $

Observa la gráfica:

En la parte inferior puedes ver una tabla de valores. Observa como cuando los valores de la variable x van aumentando, los valores $ f(x) $ se van acercando a 1. Esa es la idea de límite cuando $latex x \to \infty $

Si calculamos el límite $ lim_{x \to \infty} \dfrac{x^2-3x+2}{x^2+1}=1 $